Público-alvo: Alunos de graduação do 4o. ano (graduandos), graduados e demais interessados.
Programa:
Aplicações diferenciáveis entre espaços Euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia.
Aplicações de classe C^k: Fórmula de Taylor. Teorema da função inversa; Formas locais de imersões e submersões. Funções
implícitas. Teorema do posto. Integrais múltiplas. Teorema de Fubini. Mudança de variáveis em integrais múltiplas.
Bibliografia:
1) M. Spivak, Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna, 2003.
2) E. L. Lima, Análise no Espaço Rn, Coleção Matemática Universitária, Rio de Janeiro, IMPA, 2004.
3) E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 2, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1989.
Modalidade: Presencial
Professor: Daniel Smania
Duração: 06 de janeiro de 2025 a 14 de fevereiro de 2025.
Dias e horários: Segundas, terças, quintas e sextas, das 10:00 às 12:30.
Público-alvo: Este curso tem como público alvo discentes regulares do nosso programa de pós-graduação em matemática.
Pode também ser feito como um curso de extensão por estudantes de graduação de dentro e fora da USP.
Alunos de pós-graduação da USP fora do ICMC também podem
cursá-los como curso de pós, a depender das regras da unidade do
estudante.
Programa:
O corpo dos números complexos: definição; operações e
propriedades; topologia do plano complexo. Funções analíticas: séries
de Potências; derivação complexa e propriedades; ramos de funções inversas; equações de Cauchy-Riemann; Transformações
de Möbius. Integração complexa: Funções de Variação Limitada; integral de Riemann-Stieltjes; representação em séries de
funções analíticas, zeros de uma função analítica; índice de uma
curva fechada; o Teorema de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy;
domínios simplesmente conexos e a versão homotópica do Teorema
de Cauchy; o Teorema da Aplicação Aberta; o Teorema de Goursat.
Singularidades isoladas de funções analíticas: zeros de funções
analíticas; classificação; resíduos; o teorema do resíduo e aplicações; o
princípio do argumento e o
teorema de Rouché; o teorema do máximo módulo e o princípio do máximo. O Teorema da Aplicação de Rieman: Caracterização
dos compactos do espaço das funções analíticas e do espaço das funções meromorfas.
Imagem de Funções analíticas: O Teorema de Picard.
Bibliografia:
1) J. B. Conway, Functions of the one complex variable, Springer-Verlag, 1986.
2) L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., 1966.
3) E. A. Grove, G. Ladas, Introduction to Complex Variables. Houghton Mifflin Co. 1974.
4) J. E. Marsden, Basic complex analysis, ~W.H. Freeman, 1973.
5) B. P. Palka, An introduction to complex function theory, Springer-Verlag, 1991.
6) N. Levinson, R. Redheffer, Complex Variables, Holden-Day, Inc, 1970.