Definição Derivadas

Definição Derivadas

Segundo Leithold (1994, p. 139) "a reta tangente ao gráfico de uma função em um dos seus pontos, começamos pensando em definir a inclinação da reta tangente no ponto. Então a tangente é determinada por sua inclinação e pelo ponto de tangência".

Assim, a reta tangente ao gráfico em uma função contínua, é definida conforme descrito abaixo:

1. Definição. Suponhamos que a função $f$ seja contínua em $x_{1}$. A $\textbf{reta tangente}$ ao gráfico de $f$no ponto $P ( x_{1}, f ( x_{1} ) )$ é

(i) a reta por $P$tendo inclinação $m ( x_{1} )$, dada por

$\begin{equation} \label{01_equ_inclinação_derivada}m ( x_{1} ) = \lim\limits_{ \Delta x \rightarrow 0} \dfrac{ f( x_{1} + \Delta x ) - f ( x_{1} ) }{ \Delta x }\end{equation}$ (1)

se o limite existir;

(ii) a reta $x = x_{1}$ se

$\lim\limits_{ \Delta x \rightarrow 0^{+} } \dfrac{ f( x_{1} + \Delta x ) - f ( x_{1} ) }{ \Delta x }  \ \mathrm{ for }   \ + \infty \  \ \mathrm{ ou }  \ - \infty$ 

e 

$\lim\limits_{ \Delta x \rightarrow 0^{-} } \dfrac{ f ( x_{1} + \Delta x ) - f ( x_{1} ) }{ \Delta x }  \ \mathrm{ for }   \ + \infty \  \ \mathrm{ ou }  \ - \infty$

Se nem (i) nem (ii) da Definição1  forem verdadeiras, então não existirá reta tangente ao gráfico de $f$, no ponto $P(x_{1}, f(x_{1}))$. (LEITHOLD, 1994, p. 140) 

2. Derivadas com $\mathbf{\Delta x \neq 0}$

A variação dos valores de $x$ ou incremento de $x$, é denotado pela diferença entre abscissas, como $\Delta x$, (lemos "delta x").

Leithold (1994 ) no caso de $\Delta x \neq 0$, e o limite existir, podemos dividir o numerador e o denominador por $\Delta x$, para calcular o valor da inclinação de $m ( x_{1} )$.

$\Delta x \neq 0$  (2)

Leithold (1994) Uma reta horizontal não tem inclinação, pois, é paralela ao eixo das abscissas. 

Segundo Leithold (1994, p. 142) " A $\textbf{ reta normal}$ a um gráfico em um dado ponto é a reta perpendicular à reta tangente naquele ponto". Ressalta a importância que existe para o Cálculo na utilização do tipo de limite, para encontrar a inclinação da reta tangente descrito na Definição 1, então apresenta a notação de derivada:

2. Definição. A $\textbf{ derivada }$ de uma função $f$é a função denotada por $f '$, tal que seu valor em qualquer número $x$do domínio da $f$ seja dado por

$\begin{equation} \label{03_equ_notação_derivada}f ' ( x ) \ = \ \lim\limits_{ \Delta x\rightarrow 0 } \dfrac{ f ( x + \Delta x) - f ( x  ) }{ \Delta x }\end{equation}$  (3)

se esse limite existir.  (LEITHOLD, 1994, p. 142) 

Leithold (1994)  Se $( x_{1} )$ for um determinado número do domínio de $f$, então

$\begin{equation} \label{04_equ_um_numero_do_dominio}f ' ( x_{1} ) \ = \ \lim\limits_{ \Delta x \rightarrow 0 } \dfrac{ f( x_{1} + \Delta x ) - f ( x_{1} ) }{ \Delta x }\end{equation}$  (4)

Quando existir o limite. Fazendo a comparação das fórmulas (1). e  (4). como referência, percebemos que a inclinação da reta tangente a $y = f (x)$ no ponto $( x_{1}, f( x_{1} ) )$é exatamente a derivada de $f$calculada em $x_{1}$.

Vamos considerar agora a fórmula (4) que é

$f ' ( x_{1} ) \ = \ \lim\limits_{ \Delta x\rightarrow 0 } \dfrac{f(x_{1} + \Delta x) - f(x_{1})}{\Delta x }$

Nessa fórmula seja

$\begin{equation} \label{05_equ_x1 + delta x}  x_{1} + \Delta x = x\end{equation}$ (5)

Então

$\begin{equation} \label{06_equ_delta x tende a 0}" \Delta x \rightarrow 0 " \quad \acute{e} \ equivalente \ a  \quad "x \rightarrow  x_{1}".\end{equation}$  (6)

Das fórmulas , (4),(5) e (6) obtemos a seguinte fórmula para $f'( x_{1} )$:

$\begin{equation} \label{07_equ_alternativa}f ' ( x_{1} ) \ = \ \lim\limits_{ x\rightarrow x_{1} } \dfrac{ f( x ) - f( x_{1} ) }{ x - x_{1} }\end{equation}$  (7)

se o limite existir. A fórmula (7) é uma alternativa para (4) no cálculo de  $f ' ( x_{1} )$.

Leithold (1994) A notação de derivada $\frac{ dy }{ dx }$ introduzida Gottfried Wilhelm Leibniz, porém, em trabalhos independentes Leibniz e Sir Isaac Newton introduziram quase ao mesmo tempo, o conceito de derivada. Então são exibidas estas notações para derivada:

O uso do símbolo $f '$ para a derivada da função $f$, foi introduzida pelo matemático francês Joseph Louis Lagrange (1736-1813), no século dezoito. Essa notação indica que a $f'$ é derivada da função $f$ e seu valor em $x$ é $f '( x )$.

Se $( x, y )$ for um ponto do gráfico de $f$, então $y = f(x)$ e $y'$ também será usado como notação para a derivada de $f ( x )$. Com a função $f$ definida pela equação  $y = f ( x )$, podemos expressar

$\begin{equation}\label{08_equ_lagrange} \Delta y = f ( x + \Delta x ) - f ( x ) \end{equation}$  (8)

onde $\Delta y$ é chamado de incremento de $y$ e denota a variação no valor da função quando $x$ varia de $\Delta x$ . Usando (8)  e escrevendo $\frac{ dy }{ dx }$ em lugar de $f ' ( x )$ a fórmula (3)  torna-se 

$\begin{equation} \label{09_equ_notação_derivada dy/dx}\frac{ dy }{ dx } = \ \lim\limits_{ \Delta x \rightarrow 0 } \ \dfrac{ \Delta y }{ \Delta x }\end{equation}$ (9) (LEITHOLD, 1994, p. 144)

Em relação ao estudo das derivadas em nosso trabalho, não podemos deixar de fazer referência a esta importante ferramenta matemática, denominada regra da cadeia. O recurso da regra da cadeia, essencial na derivação de funções compostas, além, da dedução das funções trigonométricas.

Segundo Rezende (2003, p. 351) "[...] A interpretação da regra da cadeia, pensando em derivada como taxa de variação instantânea, e usando a notação de Leibniz, torna o significado dessa regra muito mais transparente:"

$\begin{equation}  z \overset{ \ z ( y ) \ }{ \longleftarrow } y  \overset{ \ y ( x ) \ }{ \longleftarrow } x\Longrightarrow \dfrac{ dz }{ dx } = \dfrac{ dz }{ dy } . \dfrac{ dy }{ dx }\end{equation}$ (10)

Recurso matemático importantíssimo, definida pelo Teorema da regra da cadeia segundo Leithold (1994, p. 183) "Se a função $g$for derivável em $x$ e a função $f$ for derivável em $g ( x )$, então a função composta $f \circ g$ será derivável em $x$ , e $(f \circ g) ' (x) = f '( g ( x ) ) \  g '( x )$ ."

Enfatizando que nosso propósito é apresentar os conceitos e definições pertinentes ao curso de Cálculo, como a diferenciação (diferenças infinitamente pequenas). 

Segundo Rezende (2003, p. 84) "A história do Cálculo é longa demais para ser abreviada, e fecunda o suficiente para se fazer recortes superficiais, mas, mesmo assim, tentaremos fazer um “breve” relato da evolução histórica [...]".

Acreditamos ter alcançado o objetivo, em mencionarmos alguns aspectos, primordiais para uma maior compreensão da essência deste material, pois, não é o propósito deste trabalho aprofundar-se nestes temas.