Probabilidade e distribuições

Probabilidade é a chance de um evento ocorrer. O termo evento é definido como uma coleção de resultados de um procedimento. Um evento é um evento simples quando um resultado não pode ser dividido em partes mais simples.

Um exemplo de evento simples é o lançamento de uma moeda. O resultado do lançamento de uma moeda é cara ou coroa. Aqui, cabeça e cauda são dois eventos simples. Esses dois eventos simples compõem o espaço amostral. Além disso, a probabilidade de um evento ocorrer cai dentro do intervalo de 0 a 1. A probabilidade de um evento impossível é 0, enquanto a de um evento que sem dúvida ocorreria é 1.

Se duas moedas forem lançadas, haverá quatro resultados prováveis. Eles são cabeça e cabeça, cabeça e rabo, rabo e cabeça e rabo e rabo. Esses quatro resultados não podem ser mais detalhados e são considerados eventos simples. Observe que dois resultados têm uma cara e uma coroa. Apenas um resultado tem duas caras ou duas coroas - com esta informação, a probabilidade pode ser calculada usando a seguinte equação:

No experimento do cara ou coroa, o valor de s para duas caras é um; para duas caudas, é uma; e para cabeça e cauda, ​​são dois. O número de eventos, n, é 4. Usando a equação, a probabilidade de duas caras no cara ou coroa é 1/4; duas coroas são 1/4, enquanto uma cara e uma coroa são 2/4.

Além disso, a probabilidade é uma ferramenta estatística prática. Pode ajudar os estatísticos a prever resultados futuros com base em eventos passados. Algumas de suas aplicações estão na previsão do tempo, no enquadramento de jogos e estratégias esportivas e na compra de seguros.

A probabilidade de uma variável aleatória x é a probabilidade de sua ocorrência. Uma distribuição de probabilidade representa as probabilidades de uma variável aleatória usando uma fórmula, gráfico ou tabela. Existem dois tipos de distribuição de probabilidade – distribuição de probabilidade discreta e distribuição de probabilidade contínua.

Uma distribuição de probabilidade discreta é uma distribuição de probabilidade de variáveis ​​aleatórias discretas. Ela pode ser categorizada em distribuição de probabilidade binomial e distribuição de probabilidade de Poisson.

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade de um procedimento com um número fixo de tentativas, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. Uma distribuição envolvendo o lançamento de uma moeda é um exemplo dessa distribuição, pois o lançamento de uma moeda tem apenas dois resultados possíveis – cara ou coroa.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de eventos independentes que ocorrem em um intervalo específico. A quantidade de mensagens recebidas por dia é um exemplo desse tipo de distribuição. Uma distribuição de probabilidade de Poisson de uma variável aleatória discreta dá a probabilidade de um número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos acontecerem a uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar o binomial se a probabilidade de sucesso for "pequena" (menor ou igual a 0,05) e o número de tentativas for "grande" (maior ou igual a 20).

Distribuições de probabilidade contínuas são as distribuições associadas a variáveis ​​aleatórias contínuas. Eles são divididos em duas categorias - distribuição uniforme e distribuição normal,

Uma distribuição uniforme tem formato retangular, indicando que os valores estão distribuídos uniformemente no intervalo de possibilidades. Um exemplo seria uma distribuição de copas, espadas, paus e ouros em um baralho de cartas. Isso ocorre porque há uma probabilidade igual de tirar uma copa, uma espada, um pau ou um ouro do baralho.

A probabilidade de uma variável aleatória x é a probabilidade de sua ocorrência. Uma distribuição de probabilidade representa as probabilidades de uma variável aleatória usando uma fórmula, gráfico ou tabela. Existem dois tipos de distribuição de probabilidade – distribuição de probabilidade discreta e distribuição de probabilidade contínua.

Uma distribuição de probabilidade discreta é uma distribuição de probabilidade de variáveis ​​aleatórias discretas. Ela pode ser categorizada em distribuição de probabilidade binomial e distribuição de probabilidade de Poisson.

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade de um procedimento com um número fixo de tentativas, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. Uma distribuição envolvendo o lançamento de uma moeda é um exemplo dessa distribuição, pois o lançamento de uma moeda tem apenas dois resultados possíveis – cara ou coroa.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de eventos independentes que ocorrem em um intervalo específico. A quantidade de mensagens recebidas por dia é um exemplo desse tipo de distribuição. Uma distribuição de probabilidade de Poisson de uma variável aleatória discreta dá a probabilidade de um número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos acontecerem a uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar o binomial se a probabilidade de sucesso for "pequena" (menor ou igual a 0,05) e o número de tentativas for "grande" (maior ou igual a 20).

Distribuições de probabilidade contínuas são as distribuições associadas a variáveis ​​aleatórias contínuas. Eles são divididos em duas categorias - distribuição uniforme e distribuição normal,

Uma distribuição uniforme tem formato retangular, indicando que os valores estão distribuídos uniformemente no intervalo de possibilidades. Um exemplo seria uma distribuição de copas, espadas, paus e ouros em um baralho de cartas. Isso ocorre porque há uma probabilidade igual de tirar uma copa, uma espada, um pau ou um ouro do baralho.

Um histograma de probabilidade é uma representação visual de uma distribuição de probabilidade. Semelhante a um histograma típico, o histograma de probabilidade consiste em caixas contíguas (adjacentes). 

Tem um eixo horizontal e um eixo vertical. O eixo horizontal é rotulado com o que os dados representam. 

O eixo vertical é rotulado com probabilidade. Cada barra retangular no histograma tem 1 unidade de largura, o que sugere que a área sob cada barra é igual à probabilidade, P(x), onde x é 1, 2, 3 e assim por diante. O conceito de que a área é igual às probabilidades é útil em estatística. O histograma (como o gráfico de haste) pode fornecer a forma dos dados, o centro e a dispersão dos dados.

Além disso, a média, variância e desvio padrão podem ser calculados e visualizados no histograma de probabilidade.

O desvio padrão da população raramente é conhecido em muitos exemplos de estatísticas do dia-a-dia. Quando os tamanhos das amostras são grandes, é fácil estimar o desvio padrão da população usando um intervalo de confiança, que fornece resultados próximos o suficiente do valor original. No entanto, os estatísticos tiveram problemas quando o tamanho da amostra era pequeno. Um tamanho de amostra pequeno causou imprecisões no intervalo de confiança.

A distribuição t de Student foi desenvolvida por William S. Goset (1876–1937) da cervejaria Guinness em Dublin, Irlanda, para estimar o desvio padrão da população quando os tamanhos das amostras eram pequenos. O nome dessa distribuição vem do pseudônimo "Student" usado por Gosset.

A distribuição t de Student é usada sempre que s é usado para estimar σ. Se uma amostra aleatória simples de tamanho n for extraída de uma distribuição aproximadamente normal com média μ e desvio padrão populacional desconhecido σ e escores t forem calculados, os escores t seguirão a distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade. A pontuação t é interpretada de forma semelhante à pontuação z. Ele mede o quão longe um valor está de sua média μ. Para cada tamanho de amostra n, existe uma distribuição t de Student diferente.

O gráfico da distribuição t de Student é semelhante à curva normal padrão.
A média para a distribuição t de Student é zero, e a distribuição é simétrica em torno de zero.
A distribuição t de Student tem mais probabilidade em suas caudas do que a distribuição normal padrão porque a dispersão da distribuição t é maior do que a da normal padrão. Portanto, a curva de distribuição t de Student é mais espessa nas caudas e mais curta no centro do que o gráfico da distribuição normal padrão.
A forma exata da distribuição t de Student depende dos graus de liberdade. À medida que os graus de liberdade aumentam, o gráfico da distribuição t de Student torna-se mais parecido com o gráfico da distribuição normal padrão.
A população subjacente de observações individuais é considerada normalmente distribuída com uma média populacional desconhecida μ e um desvio padrão populacional desconhecido σ.

A distribuição z e t de Student estimam a média da população usando a média amostral e o desvio padrão. No entanto, para decidir qual distribuição usar para um cálculo, é preciso determinar o tamanho da amostra, a natureza da distribuição e se o desvio padrão da população é conhecido. Se o desvio padrão da população for conhecido e a população for normalmente distribuída, ou se o tamanho da amostra for maior que 30, a distribuição z é preferida. A distribuição t de Student é preferida quando o desvio padrão da população é desconhecido e a população é normalmente distribuída; ou se o tamanho da amostra exceder 30.

É importante observar que, para uma amostra com tamanho menor que 30, extraída de uma distribuição assimétrica ou desconhecida, nem a distribuição z nem a distribuição t podem ser usadas. Portanto, as distribuições z e t não podem estimar com precisão a média da população para amostras extraídas de respostas voluntárias, amostragem de conveniência ou distribuições populacionais distorcidas ou desconhecidas. Deve-se empregar métodos estatísticos não paramétricos, como bootstrapping para dados categóricos ou quando o tamanho da amostra é pequeno, ou seja, inferior a 30.